\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

\usepackage{ctex} % 中文支持
\usepackage[top=2.5cm, bottom=2.5cm, left=2.5cm, right=2.5cm]{geometry} % 页边距
\usepackage{amsmath, amsthm, amssymb, bm} % 数学公式与符号
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pythonhighlight}
\usepackage{url} 
\usepackage{enumitem}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm} % 标题上移

%%文档的题目、作者与日期
\author{五六七}
\title{常微分方程第7周作业解答（6.2）}
%\date{2025年10月14日}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

\maketitle

%\abstract{第6章第2节：例1、例子2、例子3、例子4、习题1(1)、2(1)、3(1)。}

%\noindent\rule{14cm}{0.4pt}
\section{课堂练习(10.23)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{enumerate}
\item  %例子6.2\#2A
设 $A=\begin{bmatrix} 2 & 1 \\  0 & 2 \end{bmatrix}$, 求 $\exp(A)$。

{\color{red}解答：}
矩阵 $A$ 可以分解为 $A = 2I + N$，其中 $I$ 是单位矩阵，$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$。
由于 $I$ 和 $N$ 可交换，有 $\exp(A) = \exp(2I) \exp(N)$。

$\exp(2I) = e^2 I = \begin{bmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^2 \end{bmatrix}$

因为 $N^2 = 0$，所以 $\exp(N) = I + N = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

因此，$\exp(A) = \begin{bmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^2 & e^2 \\ 0 & e^2 \end{bmatrix}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %例子6.2\#4A
求常系数齐次线性微分方程组 $ \frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 2 \\  -10 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 的通解。

{\color{red}解答：}
首先求解系数矩阵 $A = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -10 & 7 \end{bmatrix}$ 的特征值和特征向量。

特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$，即
$
\begin{vmatrix} -2-\lambda & 2 \\ -10 & 7-\lambda \end{vmatrix} = (-2-\lambda)(7-\lambda) - (-10)(2) = \lambda^2 - 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) = 0
$
特征值为 $\lambda_1 = 2$, $\lambda_2 = 3$。

对于 $\lambda_1 = 2$，解 $(A - 2I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} -4 & 2 \\ -10 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow -4v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = 2v_1
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_2 = 3$，解 $(A - 3I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} -5 & 2 \\ -10 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow -5v_1 + 2v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = \frac{5}{2}v_1
$
取 $v_1 = 2$，得特征向量 $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}$。

因此，通解为：
$
\vec{y}(t) = C_1 e^{2t} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + C_2 e^{3t} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %习题6.2\#2(1)A
求常系数非齐次线性微分方程组 $\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -10 & 7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$ 的通解。

{\color{red}解答：}
齐次方程的通解已在上一题中求出：
$
\vec{y}_h(t) = C_1 e^{2t} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + C_2 e^{3t} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix}
$

现在寻找一个特解 $\vec{y}_p(t)$。由于非齐次项是常向量，我们尝试一个常数解 $\vec{y}_p = \vec{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$。

将其代入原方程：
$
0 = A\vec{c} + \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \Rightarrow A\vec{c} = -\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}
$

即求解线性方程组：
$
\begin{cases}
-2c_1 + 2c_2 = -1 \\
-10c_1 + 7c_2 = -2
\end{cases}
$

从第一个方程得 $c_2 = c_1 - \frac{1}{2}$。代入第二个方程：
$-10c_1 + 7(c_1 - \frac{1}{2}) = -2$
$-10c_1 + 7c_1 - \frac{7}{2} = -2$
$-3c_1 = -2 + \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$
$c_1 = -\frac{1}{2}$
$c_2 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$

所以特解为 $\vec{y}_p = \begin{bmatrix} -1/2 \\ -1 \end{bmatrix}$。

非齐次方程的通解为：
$
\vec{y}(t) = \vec{y}_h(t) + \vec{y}_p = C_1 e^{2t} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + C_2 e^{3t} \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1/2 \\ -1 \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %例子6.3\#3A
求高阶线性微分方程 $y''+y'-6y=x$ 的通解。

{\color{red}解答：}
首先求解对应的齐次方程 $y''+y'-6y=0$ 的通解。

其特征方程为 $r^2 + r - 6 = 0$，分解因式得 $(r+3)(r-2) = 0$，所以 $r_1 = -3, r_2 = 2$。

齐次方程的通解为 $y_h = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x}$。

接下来寻找非齐次方程的一个特解 $y_p$。由于非齐次项是 $x$（一次多项式），我们尝试 $y_p = ax + b$。

计算导数：$y_p' = a$, $y_p'' = 0$。代入原方程：
$0 + a - 6(ax + b) = x$
$a - 6ax - 6b = x$
$-6a x + (a - 6b) = x$

比较系数：
$-6a = 1 \Rightarrow a = -\frac{1}{6}$
$a - 6b = 0 \Rightarrow -\frac{1}{6} - 6b = 0 \Rightarrow b = -\frac{1}{36}$

所以特解为 $y_p = -\frac{1}{6}x - \frac{1}{36}$。

非齐次方程的通解为：
$
y = y_h + y_p = C_1 e^{-3x} + C_2 e^{2x} - \frac{1}{6}x - \frac{1}{36}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{enumerate}

\newpage 

%\noindent\rule{14cm}{0.4pt}

\section{课后作业（10.21-10.27）}

\begin{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  例子6.2\#1
设 $A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 \\ 0 & a_2 \end{bmatrix}$, 求 $e^A$。

{\color{red}解答：}
由于 $A$ 是对角矩阵，其指数函数就是将每个对角元素取指数：
$
e^A = \begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 \\ 0 & e^{a_2} \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  例子6.2\#2
设 $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  0 & 1 \end{bmatrix}$, 求 $e^A$。

{\color{red}解答：}
矩阵 $A$ 可以分解为 $A = I + N$，其中 $I$ 是单位矩阵，$N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$。

由于 $I$ 和 $N$ 可交换，有 $e^A = e^I e^N$。

$e^I = e I = \begin{bmatrix} e & 0 \\ 0 & e \end{bmatrix}$

因为 $N^2 = 0$，所以 $e^N = I + N = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

因此，$e^A = \begin{bmatrix} e & 0 \\ 0 & e \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e & e \\ 0 & e \end{bmatrix}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  例子6.2\#3
求微分方程组 $\frac{d\vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解，其中矩阵 
$A=\begin{bmatrix} 5 & -28 & -18 \\  -1 & 5 & 3 \\ 3 & -16 & -10 \end{bmatrix}.$

{\color{red}解答：}
首先求解矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。

特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$
\begin{vmatrix} 5-\lambda & -28 & -18 \\ -1 & 5-\lambda & 3 \\ 3 & -16 & -10-\lambda \end{vmatrix} = 0
$

计算这个行列式：
$(5-\lambda)[(5-\lambda)(-10-\lambda) - 3(-16)] - (-28)[-1(-10-\lambda) - 3(3)] + (-18)[-1(-16) - (5-\lambda)(3)]$
$= (5-\lambda)[-(5-\lambda)(10+\lambda) + 48] + 28[10+\lambda - 9] - 18[16 - 3(5-\lambda)]$
$= (5-\lambda)[-(50+5\lambda-10\lambda-\lambda^2) + 48] + 28[1+\lambda] - 18[16 - 15 + 3\lambda]$
$= (5-\lambda)[\lambda^2 + 5\lambda - 2] + 28(1+\lambda) - 18(1 + 3\lambda)$
$= (5-\lambda)(\lambda^2 + 5\lambda - 2) + 28 + 28\lambda - 18 - 54\lambda$
$= (5-\lambda)(\lambda^2 + 5\lambda - 2) + 10 - 26\lambda$
$= 5\lambda^2 + 25\lambda - 10 - \lambda^3 - 5\lambda^2 + 2\lambda + 10 - 26\lambda$
$= -\lambda^3 + \lambda$
$= -\lambda(\lambda^2 - 1) = -\lambda(\lambda-1)(\lambda+1)$

特征值为 $\lambda_1 = 0$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = -1$。

对于 $\lambda_1 = 0$，解 $A\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} 5 & -28 & -18 \\ -1 & 5 & 3 \\ 3 & -16 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$
从第二个方程：$-v_1 + 5v_2 + 3v_3 = 0$ (1)
从第三个方程：$3v_1 - 16v_2 - 10v_3 = 0$ (2)
(1)*3 + (2): $-v_2 - v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = -v_3$
将 $v_2 = -v_3$ 代入 (1)：$-v_1 - 5v_3 + 3v_3 = 0 \Rightarrow v_1 = -2v_3$
取 $v_3 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_2 = 1$，解 $(A - I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} 4 & -28 & -18 \\ -1 & 4 & 3 \\ 3 & -16 & -11 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$
从第二个方程：$-v_1 + 4v_2 + 3v_3 = 0$ (3)
从第三个方程：$3v_1 - 16v_2 - 11v_3 = 0$ (4)
(3)*3 + (4): $-4v_2 - 2v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = -\frac{1}{2}v_3$
将 $v_2 = -\frac{1}{2}v_3$ 代入 (3)：$-v_1 - 2v_3 + 3v_3 = 0 \Rightarrow v_1 = v_3$
取 $v_3 = 2$，得特征向量 $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_3 = -1$，解 $(A + I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} 6 & -28 & -18 \\ -1 & 6 & 3 \\ 3 & -16 & -9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
$
从第二个方程：$-v_1 + 6v_2 + 3v_3 = 0$ (5)
从第三个方程：$3v_1 - 16v_2 - 9v_3 = 0$ (6)
(5)*3 + (6): $2v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = 0$
将 $v_2 = 0$ 代入 (5)：$-v_1 + 3v_3 = 0 \Rightarrow v_1 = 3v_3$
取 $v_3 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

因此，通解为：
$
\vec{y}(x) = C_1 \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + C_2 e^{x} \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} + C_3 e^{-x} \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  例子6.2\#4
求微分方程组 $ \frac{d\vec{y}}{dx}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  -1 & 1 \end{bmatrix} \vec{y}$ 的通解。

{\color{red}解答：}
首先求解系数矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ 的特征值和特征向量。

特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$
\begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ -1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)^2 + 1 = \lambda^2 - 2\lambda + 2 = 0
$

使用二次公式：$\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$

特征值为 $\lambda_1 = 1 + i$, $\lambda_2 = 1 - i$。

对于 $\lambda_1 = 1 + i$，解 $(A - (1+i)I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} -i & 1 \\ -1 & -i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow -iv_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = iv_1
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_2 = 1 - i$，解 $(A - (1-i)I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} i & 1 \\ -1 & i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow iv_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -iv_1
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix}$。

为了得到实数解，我们使用欧拉公式 $e^{(1+i)x} = e^x(\cos x + i\sin x)$ 和 $e^{(1-i)x} = e^x(\cos x - i\sin x)$。

对应的复数解为：
$e^{(1+i)x} \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = e^x(\cos x + i\sin x) \begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} = e^x \begin{bmatrix} \cos x + i\sin x \\ -\sin x + i\cos x \end{bmatrix}$
$e^{(1-i)x} \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = e^x(\cos x - i\sin x) \begin{bmatrix} 1 \\ -i \end{bmatrix} = e^x \begin{bmatrix} \cos x - i\sin x \\ -\sin x - i\cos x \end{bmatrix}$

取这两个解的实部和虚部的线性组合：
实部之和：$e^x \begin{bmatrix} 2\cos x \\ -2\sin x \end{bmatrix}$
虚部之和：$e^x \begin{bmatrix} 2\sin x \\ 2\cos x \end{bmatrix}$

因此，通解为：
$
\vec{y}(x) = C_1 e^x \begin{bmatrix} \cos x \\ -\sin x \end{bmatrix} + C_2 e^x \begin{bmatrix} \sin x \\ \cos x \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  习题6.2\#1(1)
求常系数齐次线性微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解，其中矩阵 $A$ 为
$
A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}.
$ 

{\color{red}解答：}
首先求解矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。

特征方程为 $\det(A - \lambda I) = 0$：
$
\begin{vmatrix} 3-\lambda & 4 \\ 5 & 2-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)(2-\lambda) - 20 = \lambda^2 - 5\lambda - 14 = (\lambda-7)(\lambda+2) = 0
$

特征值为 $\lambda_1 = 7$, $\lambda_2 = -2$。

对于 $\lambda_1 = 7$，解 $(A - 7I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow -4v_1 + 4v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = v_2
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_2 = -2$，解 $(A + 2I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow 5v_1 + 4v_2 = 0 \Rightarrow v_1 = -\frac{4}{5}v_2
$
取 $v_2 = 5$，得特征向量 $\vec{v}_2 = \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}$。

因此，通解为：
$
\vec{y}(x) = C_1 e^{7x} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + C_2 e^{-2x} \begin{bmatrix} -4 \\ 5 \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  习题6.2\#2(1)
求常系数非齐次线性微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y} + \vec{f}(x)$ 的通解，其中 
$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\,\, \vec{f}(x) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}. $

{\color{red}解答：}
首先求解齐次方程 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解。

矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$ 有重特征值 $\lambda = 2$。

为了求解，我们需要找到广义特征向量。首先解 $(A - 2I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow v_2 = 0
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。

然后解 $(A - 2I)\vec{w} = \vec{v}_1$：
$
\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow w_2 = 1
$
取 $w_1 = 0$，得广义特征向量 $\vec{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

齐次方程的基本解矩阵为：
$
\Phi(x) = e^{2x} \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$

齐次方程的通解为：
$
\vec{y}_h(x) = \Phi(x) \vec{C} = e^{2x} \begin{bmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \end{bmatrix} = e^{2x} \begin{bmatrix} C_1 + C_2 x \\ C_2 \end{bmatrix}
$

现在寻找一个特解 $\vec{y}_p(x)$。由于非齐次项是常向量，我们尝试一个常数解 $\vec{y}_p = \vec{c} = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}$。

将其代入原方程：
$
0 = A\vec{c} + \vec{f}(x) \Rightarrow A\vec{c} = -\vec{f}(x) = -\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$

即求解线性方程组：
$
\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \end{bmatrix}
$

从第二个方程：$2c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = 0$。代入第一个方程：$2c_1 = -1 \Rightarrow c_1 = -\frac{1}{2}$。

所以特解为 $\vec{y}_p = \begin{bmatrix} -1/2 \\ 0 \end{bmatrix}$。

非齐次方程的通解为：
$
\vec{y}(x) = \vec{y}_h(x) + \vec{y}_p = e^{2x} \begin{bmatrix} C_1 + C_2 x \\ C_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1/2 \\ 0 \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  习题6.2\#3(1)
求微分方程组 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y} + \vec{f}(x)$ 满足初值条件 $\vec{y}(0)=\vec{\eta}$ 的解，其中
$A = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix},\,\, 
\vec{f}(x) = \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix},\,\, 
\vec{\eta} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}.
$ 

{\color{red}解答：}
首先求解齐次方程 $\frac{d \vec{y}}{dx}=A\vec{y}$ 的通解。

矩阵 $A = \begin{bmatrix} -5 & -1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}$ 的特征方程为：
$
\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -5-\lambda & -1 \\ 1 & -3-\lambda \end{vmatrix} = (-5-\lambda)(-3-\lambda) + 1 = \lambda^2 + 8\lambda + 16 = (\lambda + 4)^2 = 0
$

特征值为 $\lambda = -4$（重根）。

解 $(A + 4I)\vec{v} = 0$：
$
\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\Rightarrow -v_1 - v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -v_1
$
取 $v_1 = 1$，得特征向量 $\vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。

解 $(A + 4I)\vec{w} = \vec{v}_1$：
$
\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
\Rightarrow -w_1 - w_2 = 1 \Rightarrow w_1 + w_2 = -1
$
取 $w_1 = 0$，得 $w_2 = -1$，广义特征向量 $\vec{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix}$。

齐次方程的基本解矩阵为：
$
\Phi(x) = e^{-4x} \begin{bmatrix} 1 & x \\ -1 & -1-x \end{bmatrix}
$

齐次方程的通解为：
$
\vec{y}_h(x) = \Phi(x) \vec{C} = e^{-4x} \begin{bmatrix} 1 & x \\ -1 & -1-x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} C_1 \\ C_2 \end{bmatrix} = e^{-4x} \begin{bmatrix} C_1 + C_2 x \\ -C_1 - C_2(1+x) \end{bmatrix}
$

现在寻找一个特解 $\vec{y}_p(x)$。由于非齐次项是 $\vec{f}(x) = \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix}$，我们使用常数变易法。

设 $\vec{y}_p(x) = \Phi(x) \vec{u}(x)$，其中 $\vec{u}(x) = \begin{bmatrix} u_1(x) \\ u_2(x) \end{bmatrix}$。

根据常数变易法公式：$\vec{u}'(x) = \Phi^{-1}(x) \vec{f}(x)$。

首先计算 $\Phi^{-1}(x)$：
$
\Phi^{-1}(x) = \frac{1}{e^{-4x}(-1 - x + x)} \begin{bmatrix} -1-x & -x \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = -e^{4x} \begin{bmatrix} -1-x & -x \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = e^{4x} \begin{bmatrix} 1+x & x \\ -1 & -1 \end{bmatrix}
$

因此：
$
\vec{u}'(x) = e^{4x} \begin{bmatrix} 1+x & x \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e^x \\ e^{2x} \end{bmatrix} = e^{4x} \begin{bmatrix} (1+x)e^x + xe^{2x} \\ -e^x - e^{2x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1+x)e^{5x} + xe^{6x} \\ -e^{5x} - e^{6x} \end{bmatrix}
$

积分得到：
$u_1(x) = \int [(1+x)e^{5x} + xe^{6x}] dx = \int (1+x)e^{5x} dx + \int xe^{6x} dx$

$\int (1+x)e^{5x} dx$ 使用分部积分：$u = 1+x, dv = e^{5x}dx \Rightarrow du = dx, v = \frac{1}{5}e^{5x}$
$\int (1+x)e^{5x} dx = \frac{1}{5}(1+x)e^{5x} - \int \frac{1}{5}e^{5x} dx = \frac{1}{5}(1+x)e^{5x} - \frac{1}{25}e^{5x} = \frac{1}{5}e^{5x}(1+x-\frac{1}{5}) = \frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x)$

$\int xe^{6x} dx$ 使用分部积分：$u = x, dv = e^{6x}dx \Rightarrow du = dx, v = \frac{1}{6}e^{6x}$
$\int xe^{6x} dx = \frac{1}{6}xe^{6x} - \int \frac{1}{6}e^{6x} dx = \frac{1}{6}xe^{6x} - \frac{1}{36}e^{6x} = \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6})$

所以：
$u_1(x) = \frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x) + \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6}) + C_1'$

$u_2(x) = \int [-e^{5x} - e^{6x}] dx = -\frac{1}{5}e^{5x} - \frac{1}{6}e^{6x} + C_2'$

为了简化，我们可以取 $C_1' = C_2' = 0$ 来得到一个特解。

因此：
$
\vec{y}_p(x) = \Phi(x) \vec{u}(x) = e^{-4x} \begin{bmatrix} 1 & x \\ -1 & -1-x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x) + \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6}) \\ -\frac{1}{5}e^{5x} - \frac{1}{6}e^{6x} \end{bmatrix}
$

计算第一分量：
$[\vec{y}_p(x)]_1 = e^{-4x} \left[ \frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x) + \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6}) - x(\frac{1}{5}e^{5x} + \frac{1}{6}e^{6x}) \right]$
$= e^{-4x} \left[ \frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x-x) + \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6} - x) \right]$
$= e^{-4x} \left[ \frac{4}{25}e^{5x} + \frac{1}{6}e^{6x}(-\frac{1}{6}) \right]$
$= \frac{4}{25}e^{x} - \frac{1}{36}e^{2x}$

计算第二分量：
$[\vec{y}_p(x)]_2 = e^{-4x} \left[ -(\frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x) + \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6})) - (1+x)(-\frac{1}{5}e^{5x} - \frac{1}{6}e^{6x}) \right]$
$= e^{-4x} \left[ -\frac{1}{5}e^{5x}(\frac{4}{5}+x) - \frac{1}{6}e^{6x}(x - \frac{1}{6}) + \frac{1}{5}e^{5x}(1+x) + \frac{1}{6}e^{6x}(1+x) \right]$
$= e^{-4x} \left[ -\frac{4}{25}e^{5x} - \frac{1}{5}xe^{5x} - \frac{1}{6}xe^{6x} + \frac{1}{36}e^{6x} + \frac{1}{5}e^{5x} + \frac{1}{5}xe^{5x} + \frac{1}{6}e^{6x} + \frac{1}{6}xe^{6x} \right]$
$= e^{-4x} \left[ (-\frac{4}{25} + \frac{1}{5})e^{5x} + (\frac{1}{36} + \frac{1}{6})e^{6x} \right]$
$= e^{-4x} \left[ \frac{1}{25}e^{5x} + \frac{7}{36}e^{6x} \right]$
$= \frac{1}{25}e^{x} + \frac{7}{36}e^{2x}$

所以特解为：
$
\vec{y}_p(x) = \begin{bmatrix} \frac{4}{25}e^{x} - \frac{1}{36}e^{2x} \\ \frac{1}{25}e^{x} + \frac{7}{36}e^{2x} \end{bmatrix}
$

非齐次方程的通解为：
$
\vec{y}(x) = \vec{y}_h(x) + \vec{y}_p(x) = e^{-4x} \begin{bmatrix} C_1 + C_2 x \\ -C_1 - C_2(1+x) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{4}{25}e^{x} - \frac{1}{36}e^{2x} \\ \frac{1}{25}e^{x} + \frac{7}{36}e^{2x} \end{bmatrix}
$

现在应用初值条件 $\vec{y}(0) = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$：
$
\vec{y}(0) = \begin{bmatrix} C_1 \\ -C_1 - C_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{4}{25} - \frac{1}{36} \\ \frac{1}{25} + \frac{7}{36} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}
$

计算常数项：$\frac{4}{25} - \frac{1}{36} = \frac{144 - 25}{900} = \frac{119}{900}$
$\frac{1}{25} + \frac{7}{36} = \frac{36 + 175}{900} = \frac{211}{900}$

所以我们有方程组：
$
\begin{cases}
C_1 + \frac{119}{900} = 1 \\
-C_1 - C_2 + \frac{211}{900} = 0
\end{cases}
$

从第一个方程：$C_1 = 1 - \frac{119}{900} = \frac{781}{900}$
代入第二个方程：$-\frac{781}{900} - C_2 + \frac{211}{900} = 0$
$-C_2 = \frac{781 - 211}{900} = \frac{570}{900} = \frac{19}{30}$
$C_2 = -\frac{19}{30}$

因此，满足初值条件的解为：
$
\vec{y}(x) = e^{-4x} \begin{bmatrix} \frac{781}{900} - \frac{19}{30} x \\ -\frac{781}{900} + \frac{19}{30}(1+x) \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{4}{25}e^{x} - \frac{1}{36}e^{2x} \\ \frac{1}{25}e^{x} + \frac{7}{36}e^{2x} \end{bmatrix}
$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{enumerate}

\end{document}
